Restitutions organisées des connaissances

Vous pouvez vous référer également à ce PDF très bien construit. Il comporte de nombreuses démonstrations intéressantes.

ROC n°1 : théorème de comparaison.

ROC n°2 : montrer que $u_n\leq l$ quand une suite converge.

ROC n°3 : comportement de toutes suites croissantes non majorées.

ROC n°4 : inégalité de Bernoulli.

ROC n°5 : montrer qu'une fonction telle que $f=f'$ et $f(0)=1$ ne s'annule jamais pour tout réel $x$ .

ROC n°6 : montrer que ce type de fonction est unique.

ROC n°7 : étudier les limites de la fonction exponentielle.

ROC n°8 : si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, alors $\overline{A}$ et $B$ le sont aussi.

ROC n°9 : soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ . Soit la fonction $F$ définie sur $[a;b]$ par :

$F(x)=\int_a^xf(t)\ \mathrm dt$

La fonction $F$ est dérivable sur $[a;b]$ et a pour dérivée $f$ .

ROC n°10 : si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$ , alors $f$ admet une primitive.

ROC n°11 : démontrer qu'une variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est sans vieillissement.

ROC n°12 : démontrer que l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est $1/\lambda$ .

ROC n°13 : théorème du toit. Si $P$ et $Q$ sont deux plans sécants selon une droite $\Delta$ et si une droite $d$ contenue dans $P$ est parallèle à une droite $d'$ contenue dans $Q$ , alors $\Delta$ est parallèle à $d$ et $d'$ .

ROC n°14 : dans l'espace, si une droite $d$ est orthogonale à deux droites sécantes d'un plan $P$ , alors la droite est orthogonale à $P$ .

ROC n°15 : l'espace est muni d'un repère orthonormal.

Sens direct : un plan de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ a une équation cartésienne de la forme : $ax+by+cz+d=0$ .
Réciproquement : si $(a;b;c)\neq(0;0;0)$ , alors l'ensemble des points $M(x;y;z)$ de l'espace tels que $ax+by+cz+d=0$ est un plan de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ .

ROC n°16 : soit $X\sim \mathcal{N}(0;1)$ . Pour tout réel $\alpha \in]0;1[$ , il existe un unique réel positif $u_{\alpha}$ tel que : $P(-u_{\alpha}\leq X\leq u_{\alpha})=1-\alpha$ .

ROC n°17 : si $X_n\sim \mathcal{B}(n,p)$ , alors la fréquence du succès $F_n=X_n/n$ vérifie pour tout $\alpha\in]0;1[$ :

$P\left(p-u_{\alpha}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\leq F_n\leq p+u_{\alpha}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \right ) = 1-\alpha$

où $u_{\alpha}$ vérifie $P(-u_{\alpha}\leq \overline{Z}\leq u_{\alpha})=1-\alpha$ avec $\overline{Z}\sim \mathcal{N}(0;1)$ .

ROC n°18 : lorsque $n$ est assez grand ( $n\geq 30$ , $np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$ ), la proportion inconnue $p$ vérifie :

$P\left(F_n-\frac{1}{\sqrt{n}}\leq p\leq F_n+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\geq 0,\! 95$