Loi uniforme

On appelle loi uniforme sur $[a;b]$ la loi de probabilité dont la densité est la fonction constante sur $[a;b]$ égale à :

$\frac{1}{b-a}$

On remarque que cette fonction constante est densité car elle continue et positive et :

$\int_a^b\frac{1}{b-a}\ \mathrm dx=\frac{1}{b-a}(b-a)=1$

" $X$ suit une loi uniforme sur $[a;b]$ " peut se noter $\mathcal{U}(a;b)$ .

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[a;b]$ . $X$ admet une espérance $E(X)$ égale à :

$\frac{a+b}{2}$

Démonstration. On a :

$E(X)=\int_a^bx\times f(x)\ \mathrm dx=\int_a^b\frac{1}{b-a}x\ \mathrm dx=\frac{1}{b-a}(b^2/2-a^2/2)=\frac{a+b}{2}$

De même, $X$ admet une variance $V(X)$ égale à :

$V(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$

Démonstration. Assez longue et laborieuse. Elle nécessite beaucoup de calcul. Mais il faut remarquer que :

$V(x)=\int_a^bx^2f(x)\ \mathrm dx -\left(\frac{a+b}{2}\right )^2$

Et remarquer que : $(b-a)^3=b^3-a^3+3a^2b-3ab^2$ , ou procédez par identification, en mettant $(b-a)$ en facteur.