Indépendance

On dit que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si :

$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$

Si $P(A)\neq 0$ , on a :

$A$ et $B$ indépendants si et seulement si, $P_A(B)=P(B)$

(ou également $P_B(A)=P(A)$ si $P(B)\neq 0$ ).

ROC : Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\overline {A}$ et $B$ sont indépendants.

Démonstration. 1ère méthode : on suppose que $P(A)\neq 0$ . On sait que, d'après la définition des deux événements : $P_B(A)=P(A)$ . Ainsi, on a :

$P_B(\overline{A})=1-P_B(A)=1-P(A)=P(\overline{A})$

Les événements $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants.

2ème méthode : on précise que $(A\cap B)$ et $(\overline{A}\cap B)$ sont incompatibles. On a : $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$

Les événements $A$ et $B$ son indépendants, on a ainsi :

$P(B)=P(A)\times P(B)+P(\overline{A}\cap B)$

$P(B)-P(A)P(B)=P(\overline{A}\cap B)$

$P(B)(1-P(A))=P(\overline{A}\cap B)$

$P(B)P(\overline{A})=P(\overline{A}\cap B)$

Les événements $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants. (l'image ci-jointe permet de se visualiser la situation afin de décrire la définition de $B$ )

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes.

$X$ et $Y$ sont indépendantes lorsque, pour tout $i$ de $\mathbb{N}$ , $1\leq i \leq n$ et tout $j$ de $\mathbb{N}$ , $1\leq j \leq p$ , on a :

$P((X=x_i)\cap (Y=y_i))=P(X=x_i)\times P(Y=y_j)$

Soient $E$ une expérience aléatoire et $A$ un événement associé à cette expérience. Si on répète $k$ fois l'expérience $E$ et que ces $k$ expériences sont indépendants, alors la probabilité que l'événement $A$ se réalise $k$ fois est :

$(p(A))^k$