Suites adjacentes

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes si :

$(u_n)$ est croissante

$(v_n)$ est décroissante

$u_n\leq v_n$

$\lim_{n\to +\infty}(u_n-v_n)=0$

Posons la suite auxiliaire $(w_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $w_n=u_n-v_n$ . On sait que : $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est décroissante. Étudions le signe de $w_{n+1}-w_n$ .

$\\ w_{n+1}-w_n=u_{n+1}-v_{n+1}-u_{n}+v_{n}\\ w_{n+1}-w_n=u_{n+1}-u_{n}+v_{n}-v_{n+1}$

Or, d'après les définitions : $u_{n+1}-u_n\geq 0$ et $v_{n}-v_{n+1}\geq 0$ . Par conséquent : $w_{n+1}-w_n\geq 0$ . Donc la suite $(w_n)$ est croissante.

Ainsi, d'après le théorème, puisque la suite est croissante et converge vers un réel, alors on a, dans ce cas : $w_n\leq 0$ . Ainsi, on a :

$u_n\leq v_n$

Maintenant, toujours d'après les définitions, on a : $u_0\leq u_n\leq v_n \leq v_0$ . La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $v_0$ , donc elle est converge. Idem pour la suite $(v_n)$ qui elle, est décroissante et minorée par $u_0$ .

Ainsi, on peut dire :

$\lim_{n\to +\infty}u_n=l\ et\ \lim_{n\to +\infty}v_n=l'$

Par addition ( $u_n+(-v_n)$ ), on a :

$\lim_{n\to +\infty}u_n-v_n=l-l'$

Or on sait que :

$\lim_{n\to +\infty}u_n-v_n=0$

Par conséquent, on a : $l=l'$ , les deux suites convergent vers la même limite.

Exemple : considérons la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}^{*}$ par : $u_n=4+\dfrac{1}{n}$ ., et la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}^{*}$ par : $v_n=4-\frac{1}{n^2}$ . Les deux suites sont adjacentes.

Voir image ci-dessous pour se faire une idée de la représentation de deux suites adjacentes.