Définition

Soient $\Omega$ l'univers associé à une expérience aléatoire et $P$ une loi de probabilité sur $\Omega$ .

Soit $A$ et $http://latex.codecogs.com/gif.latex?B$ deux événements de $\Omega$ tels que $P(B)\neq 0$ . On définit la probabilité que $A$ soit réalisé sachant que $B$ est réalisé, notée $P_B(A)$ , par la relation :

$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

On peut constater que $P_B(A)\in [0;1]$ et $P_B(\overline{A})=1-P_B(A)$ .

Ainsi si $A$ et $http://latex.codecogs.com/gif.latex?B$ sont deux événements tels que $P(A)\neq 0$ et $P(B)\neq 0$ , alors :

$P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=P(B)\times P_B(A)$

Formule des probabilités totales :

On dit que les événements $A_1 \dots A_k$ forment une partition de l'univers $\Omega$ lorsqu'ils sont non vides, deux à deux disjoints et que leur réunion est $\Omega$ .

Cas où il a 6 événements. Source : annabac

Soient $A_1 \dots A_k$ une partition de l'univers $\Omega$ .

Pour tout événement de $B$ , on a :

$\\ P(B)=P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)+\dots+P(A_k\cap B)\\ P(B)=P(A_1)\times P_{A_1}(B)+P(A_2)\times P_{A_2}(B)+\dots+P(A_k)\times P_{A_k}(B)$

Démonstration. Un arbre peut se révéler utile pour se représenter la situation. Il faut principalement noter que les événements sont incompatibles.