Équations du second degré

Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ , on a : $http://latex.codecogs.com/gif.latex?zz%27%3D0%20%5CLeftrightarrow%20z%27%3D0%5C%20ou%5C%20z%3D0$ . On dit que $\mathbb{C}$ est un corps intègre.

Dans $\mathbb{C}$ , l'équation $az^2+bz+c=0$ a toujours des solutions. Attention, on étudie uniquement le cas où $(a;b;c)\in\mathbb{R}^3$ avec $a\neq 0$ . On pose le discriminant $\Delta$ tel que : $\Delta = b^2-4ac$ . Il y a trois cas :

Soit $\Delta>0$ , alors, voir ici.
Soit $\Delta=0$ , alors voir ici.
Soit $\Delta<0$ , alors il y a deux solutions complexes conjuguées :

$z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$

On peut remarquer que $\overline{z_2}=z_1$ . Par ailleurs, soit $P$ un polynôme complexe à coefficient réel, si $\alpha$ est racine du polynôme alors : $P(\overline{\alpha})=P(\alpha)$ . En effet, prenons le cas du second degré :

$\\ a\alpha^2+b\alpha+c=0 \Leftrightarrow \overline{a\alpha^2+b\alpha+c}=0 \Leftrightarrow a\overline{\alpha}^2+b\overline{\alpha}+c=0\\ P(\alpha)=0 \Leftrightarrow P(\overline{\alpha})=0$

De plus, le trinôme $az^2+bz+c=0$ peut toujours se factoriser :

$a(z-z_1)(z-z_2)=0$