NB : les étoiles constituent le niveau de difficulté.

est un exercice facile.

est un exercice moyen.

est un exercice difficile (généralement appelé "problème ouvert")

Exercice 1 (source : ilemaths) :

1. On considère une fonction définie sur par : .

a. Déterminer la limite de en .

b. Déterminer la dérivée de sur .

c. Dresser le tableau de variations de .

2. Soit un entier naturel non nul. On considère la fonction définie sur par :

a. Déterminer la limite de en .

b. Démontrer que la fonction est strictement croissante sur .

c. Démontrer que l'équation admet une unique solution, notée , sur .

d. Justifiez que, pour tout entier naturel non nul , .

3. Démontrer que, pour tout entier naturel non nul , .

4. Étude de la suite .

a. Montrer que la suite est croissante.

b. En déduire qu'elle converge.

c. Démontrer que :

d. En déduire la limite de la suite.

Exercice 2 :

Soit une fonction dérivable en avec . Montrer que la tangente à au point coupe l'axe des abscisses en un point d'abscisse :

Exercice 3 :

Montrer que tout polynôme de degré impair admet au moins une racine.

Rappel : un polynôme admet une racine s'il un réel tel que (la courbe représentative coupe l'axe des abscisses)

Exercice 4 :

Montrer qu'il existe des polynômes de degré pair n'admettant pas de racine.

Exercice 5 :

Soit la suite définie par   et par pour tout . On suppose que la suite converge et croissante. Quelle est alors la valeur possible de la limite ?

Exercice 6 :

Soit la fonction définie sur par : .

Est-elle dérivable en 0 ? Si oui, préciser sa limite.

Exercice 7 :

Montrer la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
Sous quelle autre forme peut-on écrire la fonction valeur absolue ?

Exercice 8 :

La fonction cube est-elle impaire ? 

La fonction est-elle paire ?

Exercice 9 : (TYPE BAC) 

Soit la suite définie sur par :

1. Soit la fonction définie sur par :

a. Étudier le sens de variations de la fonction, dresser la tableau de variation et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé. On prendra comme unité 2 cm.

b. Utilisez le graphique précédent pour représenter les 4 premiers termes de la suite sur l'axe des abscisses.

2. Étude de la suite.

a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul :

b. Montrer que pour tout , .

c. En déduire que la suite est décroissante à partir du rang 1.

d. Prouvez que la suite converge.

3. Soit la limite de la suite . Montrer que le réel est solution de l'équation :

En déduire sa valeur.

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