Propriétés

Les maths en Terminale S

Propriétés

La fonction étudiée précédemment est appelée fonction exponentielle. On la note : $f(x)=\exp x$ . On sait que :

$\exp 0=1$
La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\exp'x=\exp x$ .
Pour tout réel $x$ , on a : $\exp x>0$ .
La fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$

Démonstrations :

La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ , donc elle est continue sur $\mathbb{R}$ . De plus, la fonction exponentielle ne s'annule pas. La fonction est donc de signe constant (on peut se convaincre facilement que si une fonction est continue et ne s'annule jamais, alors elle est de signe constant, on pourra s'aider du TVI...), c'est-à-dire : $\exp x>0\ ou\ \exp x<0$ . Or : $\exp 0=1$ . Donc : $\exp x>0$ .
On a : $\exp'x=\exp x$ . Or : $\exp x>0$ . Donc : la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Pour tout réel $a$ et $http://latex.codecogs.com/gif.latex?b$ , on a : $\exp (a+b)=\exp a\times \exp b$ .

Démonstration :

Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que :

$h(x)=\frac{\exp (a+x)}{\exp a}$

Montrons que cette fonction est la fonction exponentielle. On a : \\

$h(x)=\frac{u}{v}\ avec\ \left\{\begin{matrix} u=\exp (a+x) \\ v=\exp a \end{matrix}\right.\ et\ \left\{\begin{matrix} u'=\exp'(a+x) \\ v'=0 \end{matrix}\right.$

$\\ h'(x)=\frac{u'v-v'u}{v^2}=\frac{\exp(a+x)\exp a-\exp(a+x)\times 0}{\exp^2a}=\frac{\exp (a+x)\exp a}{\exp^2 a}\\ h'(x)=\frac{\exp (a+x)\exp a}{\exp^2 a}=\frac{\exp (a+x)}{\exp a} = h(x)$

Donc : $h'=h$ . De plus :

$h(0)=\frac{\exp (0+a)}{\exp a}=1$

Donc la fonction $h$ est la fonction exponentielle. Par conséquent :

$\exp x=\frac{\exp (x+a)}{\exp a}$

En prenant $x=b$ , on a :

$\exp b\times \exp a=\exp (b+a)$

On a :

$\exp (a-b)=\frac{\exp a}{\exp b}$
$\exp (na)=(\exp a)^n$ , pour tout entier $n$ .
$\exp(\frac{a}{2})=\sqrt{\exp a}$