Calculs d'aires

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ . Soient deux réels $a$ et $b$ appartenant à $I$ tels que $a<b$ . On pose $D$ le domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ .

Si $f$ est positive sur $http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ba%3Bb%5D$ , alors :

$\mathcal{A}_D=\int_a^b f(x)\ \mathrm dx$

Si $f$ est négative sur $http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ba%3Bb%5D$ , alors :

$-\mathcal{A}_D=\int_a^b f(x)\ \mathrm dx$

Si $f$ change de signe sur $http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ba%3Bb%5D$ alors l'intégrale de $f$ sur $http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ba%3Bb%5D$ est la somme des aires algébriques des domaines définis sur lesquels $f$ garde un signe constant.

Exemple : la fonction sinus n'est pas de signe constant sur $[0;2\pi]$ .

Si $\mathcal{C}_f$ est au dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ba%3Bb%5D$ , alors l'aire du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur $http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ba%3Bb%5D$ est :

$\int _a^b (f(x)-g(x))\ \mathrm d x$