Soit une fonction continue et positive sur un intervalle . Soit sa courbe représentative dans ce repère.

L'aire délimitée par , l'axe des abscisses et les droites d'équation et est notée :

On peut constater que l'aire d'un segment vaut 0 et donc :

Soit une fonction continue et positive sur un intervalle . La valeur moyenne de sur est :

ROC : soit une fonction continue et positive sur un intervalle . Soit la fonction définie sur par :

La fonction est dérivable sur et a pour dérivée .

Démonstration. Soit et tel que .

Soit un domaine. L'aire du domaine vaut et on peut l'encadrer par l'aire de deux rectangles :

Étant donné que :

Le raisonnement est identique quand . Il faut remarquer que :

Comme est continue en , on a :

D'après le théorème des gendarmes, on a donc :

Ce qui prouve que est dérivable en et que et ce pour tout .

Si est une fonction continue et positive sur un intervalle et si est une primitive de alors :

Démonstration. Soit la fonction définie sur par :

est aussi une primitive de et donc il existe une constante telle que . Or , ainsi : . On obtient donc :

ROC : si est une fonction continue sur un intervalle , alors admet une primitive.

Démonstration. On admettra qu'une fonction continue sur admet un minimum et un maximum.

Soit est une fonction continue sur un intervalle , de minimum . La fonction est continue et positive sur donc elle admet une primitive . Comme , alors la fonction est donc une primitive de .