Échantillonnage et intervalle de fluctuation

ROC : si $X_n\sim \mathcal{B}(n,p)$ , alors la fréquence du succès $F_n=X_n/n$ vérifie pour tout $\alpha\in]0;1[$ :

$P\left(p-u_{\alpha}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\leq F_n\leq p+u_{\alpha}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \right ) = 1-\alpha$

où $u_{\alpha}$ vérifie $P(-u_{\alpha}\leq \overline{Z}\leq u_{\alpha})=1-\alpha$ avec $\overline{Z}\sim \mathcal{N}(0;1)$ .

Enfin l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $1-\alpha$ est :

$I=\left[ p-u_{\alpha}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} ; p+u_{\alpha}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right ]$

Démonstration. D'après le théorème de Moivre-Laplace, pour tous réels $http://latex.codecogs.com/gif.latex?a$ et $b$ (quand $http://latex.codecogs.com/gif.latex?n$ est grand) :

$P\left(a\leq \frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq b \right )=P(a\leq \overline{Z}\leq b)=1-\alpha$

Or :

$a\leq \frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq b \Leftrightarrow a\leq\frac{\frac{X_n}{n}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\leq b$

Soit :

$p+a\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\leq \frac{X_n}{n}\leq p+b\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

Ainsi :

$P\left( p+a\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\leq \frac{X_n}{n}\leq p+b\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right )=P(a\leq \overline{Z}\leq b)$

Soit $u_{\alpha}$ tel que $P(-u_{\alpha}\leq \overline{Z}\leq u_{\alpha})=1-\alpha$ , alors :

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?P%5Cleft%28%20p+a%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bp%281-p%29%7D%7Bn%7D%7D%5Cleq%20%5Cfrac%7BX_n%7D%7Bn%7D%5Cleq%20p+b%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bp%281-p%29%7D%7Bn%7D%7D%5Cright%20%29%3D1-%5Calpha$

L'échantillonnage consiste à utiliser des informations sur la population pour en déduire des informations sur les échantillons.

On sait que $u_{0,\! 05}\approx 1,\! 96$ . Quand $n\geq 30$ , $np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$ , la fréquence $F_n$ fluctue avec une probabilité de 0.95 dans l'intervalle :

$I=\left[p-1,\! 96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}};p+1,\! 96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \right ]$

On appelle règle de décision la règle suivante :

si la fréquence $f$ appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence, on considère que l'hypothèse "la proportion est $p$ " n'est pas remise en question et on l'accepte ;
sinon, on rejette l'hypothèse avec 5% (dans notre définition) chance de se tromper.