Théorème de Moivre-Laplace :
Soit une variable aléatoire discrète suivant la loi binomiale et la variable aléatoire discrète centrée réduite associée :
Alors pour tous les réels et :
La variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite, notée , si elle admet pour densité de probabilité la fonction, appelée fonction de Laplace-Gauss, définie sur par :
On note aussi cette fonction .
On peut montrer de différentes façons que la fonction de Laplace-Gauss est une fonction de densité mais la plupart des démonstrations sont difficiles et hors
programme.
La courbe de la densité est appelée "courbe de Gauss" ou "courbe en cloche".
Paragraphe hors programme.
Soit une variable aléatoire. On appelle fonction de répartition la fonction définie sur par . Si , on nomme cette fonction .
Si :
est dérivable et strictement croissante sur .
ROC : soit . Pour tout réel , il existe un unique réel positif tel que :.
Démonstration. Posons . Comme alors .
Posons, pour , . est composée de fonctions dérivables, elle est dérivable et on a :
car la densité est positive.
D'après le théorème de la bijection, pour tout réel , l'équation admet une unique équation dans .
Soit une variable aléatoire suivant la loi . L'espérance de est définie par :
Elle vaut .
Soit une variable aléatoire suivant la loi . La variance de est définie par :
Elle vaut .
On utilise la calculatrice pour déterminer une valeur approchée d'une probabilité dans le cadre d'une loi normale centrée réduite. Voir ce PDF pour ces explications.