Étude de la fonction logarithme - Les Maths en Terminale S !

Les maths en Terminale S

Étude de la fonction logarithme

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0;\+\infty[$ .
Sur $]0;1[$ , $\ln x<0$ et sur $]1;+\infty[$ , $\ln x>0$ .
La fonction $\ln$ est continue sur $]0;\+\infty[$ .
La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;\+\infty[$ et :

$\ln '(x)=\frac{1}{x}$

Démonstration du 4. D'après la méthode pour étudier la dérivabilité, on a, avec $x,h>0$ , on doit étudier :

$\lim_{h\to 0}\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}$

Étudier cela est fastidieux. Posons $k=\ln (x+h)$ et $b=\ln x$ . Ainsi, par changement de variables, on a : $h=e^k-x$ . Sachant que : $x=e^b$ , on a finalement $h=e^k-e^b$ .

Ainsi :

$\lim_{h\to+\infty}\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}=\lim_{k\to b}\frac{k-b}{e^k-e^b}=\lim_{k\to b}\frac{1}{\exp'(b)}=\frac{1}{e^b}=\frac{1}{x}$

$\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$ et $\lim_{x\to +\infty}\ln x=+\infty$
$\lim_{x\to 0}((\ln x)/x)=1$
Pour tout entier $n\geq 1$ : $\lim_{x\to +\infty}((\ln x)/x^n)=0$ et en particulier : $\lim_{x\to +\infty}((\ln x)/x)=0$
Pour tout entier $n\geq 1$ : $\lim_{x\to 0^+}(\ln x\times x^n)=0$ et en particulier : $\lim_{x\to 0^+}(\ln x\times x)=0$

Du fait de la stricte croissance de $\ln$ , on a, pour tout $a,b>0$ : $\ln a =\ln b \Leftrightarrow a=b$ et $\ln a <\ln b \Leftrightarrow a<b$