Définition et propriétés

Pour tout réel $x>0$ , l'équation $e^t=x$ d'inconnue réelle $http://latex.codecogs.com/gif.latex?t$ admet une unique solution $b$ car la fonction exponentielle est strictement croissante et continue sur $\mathbb{R}$ .

La fonction qui à $x$ associe cette solution est appelée fonction logarithme népérien et se note $\ln$ .

Ce nombre $b$ est noté logarithme népérien et est noté $\ln x$ .

Propriétés. Soient deux réels $a$ et $b$ deux réels strictement positifs :

$\ln (ab)=\ln a +\ln b$ .
$\ln (a/b)=\ln a -\ln b$ et donc : $\ln (1/b)=-\ln b$ .
Pour tout $n\in \mathbb{Z}$ , $\ln a^n=n\ln a$ .
$\ln \sqrt a=(\ln a)/2$

Démonstrations : en revenant principalement aux propriétés de la fonction exponentielle.