Suites bornées, majorées et bornées

Une suite est dite majorée s'il existe un réel $M$ , et que pour tout entier naturel $n$ : $u_n\leq M$ . $M$ est alors un majorant de la suite.

Une suite est dite minorée s'il existe un réel $m$ , et que pour tout entier naturel $n$ : $u_n\geq m$ . $m$ est alors un majorant de la suite.

Une suite est dite bornée si elle est minorée et majorée.

Toute suite convergente est bornée.

Démonstration : si on prend le plus terme de la suite et le plus grand, alors le tour est joué.

Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ .
Toute suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$ .

ROC : une suite croissante non majorée alors elle diverge vers $+\infty$ .

Démonstration.Dire qu'une suite est non majorée, revient à dire que pour tout réel $M$ , il existera toujours un rang $n_0$ tel que : $u_{n_0}\geq M$ .

Soit $(u_n)$ une suite croissante non majorée. Il existe un rang $n_0$ tel que, pour tout réel $M$ , $u_{n_0}\geq M$ . Puisque la suite $(u_n)$ est croissante, on a : $u_n\geq u_{n_0}\geq M$ . Soit $u_n\geq M$ . Donc, pour tout $n\geq n_0$ , les termes de la suite seront compris dans l'intervalle $I=]M;+\infty[$ . Ainsi :

$\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$

Si une suite est croissante et majorée, alors elle converge.

Si une suite est décroissante et minorée, alors elle converge.

ROC : si une suite croissante converge vers un réel $l$ alors pour tout entier $n$ : $u_n\leq l$ .

Démonstration. Raisonnons par l'absurde. Supposons qu'il existe un rang $n_0$ tel que $u_{n_0}>l$ . Ainsi, puisque la suite est croissante : $u_n>u_{n_0}>l$ . Soit : $u_n>l$ . Dire que la suite $(u_n)$ converge revient à dire qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite seront compris dans l'intervalle : $I=]l-\epsilon;l+\epsilon[, \epsilon >0$ . Posons : $\epsilon = u_{n_0}-l$ . On sait que : $u_n>u_{n_0}$ . Or : $u_{n_0}=\epsilon+l$ . Donc : $u_n>\epsilon+l$ . Ainsi : $u_n\notin I$ . Ce qui est absurde par rapport à la définition donnée.

Donc : si une suite croissante converge vers un réel $l$ , alors pour tout entier naturel $n$ : $u_n\leq l$ .