Suites arithmético-géométriques

Une suite $(u_n)$ est dire arithmético-géométrique si elle s'écrit sous la forme : $u_{n+1}=au_n+b$ , avec $a\neq 1$ (sinon suite arithmétique) et $b\neq 0$ (sinon suite géométrique). Ce genre de suites tombe très souvent au bac.

Si $a>1$ , alors la suite diverge.

Si $1<a<1$ , alors la suite converge.

Si $a<1$ , alors la suite diverge.

Supposons que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $l$ . Il en va de même que $u_{n+1}$ converge ce réel $l$ . Ainsi par passage à la limite, on obtient (évidemment, cela est possible quand on a $a\neq 1$ ) :

$l=al+b \Leftrightarrow l=\frac{b}{1-a}$

Remarquons quelque chose d'intéressant. La suite $(u_n-l)$ avec $l=b/(1-a)$ est géométrique.

Posons : $v_n = u_n-l$ pour tout entier naturel $n$ . On a donc :

$v_{n+1} = u_{n+1}-l$

D'après la relation de départ, on a :

$\\ v_{n+1}=u_{n+1}-\frac{b}{1-a}\\ v_{n+1}=au_n+b-\frac{b}{1-a}\\ v_{n+1}=au_n+\frac{b-ab-1}{1-a}\\ v_{n+1}=au_n-a\frac{b}{1-a}\\ v_{n+1}=a\left(u_n-\frac{b}{1-a}\right)\\ v_{n+1}=av_n$

La suite $(v_n)$ est bien géométrique de raison $a$ .

Par conséquent, on a : $v_n=(u_0-l)a^n$ , car $v_0=u_0-l$ . Ce qui nous permet de déduire la forme explicite de la suite arithmético-géométrique pour tout entier naturel $n$ :

$u_n=(u_0-l)a^n+l$

Ce qui explique les cas en fonction de $a$ où la suite diverge et converge (voir limite d'une suite géométrique).

Donc si $a\in ]-1;1[$ , alors :

$\lim_{n\to+\infty}u_n=\frac{b}{1-a}$

Cette suite géométrique $(v_n)$ est dite auxiliaire et est utilisée afin d'étudier convenablement une suite arithmético-géométrique.

Cette année 2015, deux questions portaient sur la suite $v_n=u_n-l$ dans le sujet de Pondichéry (exercice 2).