Correction

1. Soit la proposition $P_n :``S_n=2n^4-n^2"$ .

Initialisation : montrons que la proposition est vraie au rang 1.

$2\times 1^4-1^2=1$

$1^3=1$

La proposition est vérifiée au rang 1.

Hérédité : supposons qu'il existe un entier $n\geq 1$ tel que $P_n$ soit vraie. Démontrons alors que $P_{n+1}$ est vraie, c'est-à-dire $P_{n+1} : ``S_{n+1}=2(n+1)^4-(n+1)^2""$ . On a, par hypothèse de récurrence, $S_n=2n^4-n^2$ .

On a, donc :

$\\ \sum_{k=1}^{2n-1}k^3=2n^4-n^2\\ \\ \sum_{k=1}^{2n-1}k^3+(2n+1)^3=2n^4-n^2+(2n+1)^3\\ \\ \sum_{k=1}^{2n+1}k^3=2n^4-n^2+(2n)^3+3(2n)^2\times 1+3\times2n\times 1^2+1^3\\ \\ \sum_{k=1}^{2n+1}k^3=2n^4-n^2+8n^3+12n^2+6n+1\\ \\ \sum_{k=1}^{2n+1}k^3=2n^4-n^2+8n^3+12n^2+4n+2n+1 \\ \\ \sum_{k=1}^{2n+1}k^3= 2n^4+8n^3+11n^3+6n+1$

Or : $2(n+1)^4-(n+1)^2=2n^4+8n^3+11n^3+6n+1$ .

La proposition est vérifiée au rang $n+1$ .

Conclusion : la proposition est vraie au rang 1 et est héréditaire à partir de 1, donc elle est vérifiée pour tout $n\in \mathbb{N}$ .

Il faut résoudre : $2n^4-n^2=913276$ . Soit l'équation : $2x^4-x^2=913276$ . En posant : $X=x^2$ , on a donc : $2X^2-X-913276=0$ . En calculant le discriminant $\Delta$ , on obtient deux solutions :

$X_1=-\frac{1351}{2}\ et\ X_2=676$

Or, $X_1$ ne peut pas être solution car on cherche une solution entière et positive. Par conséquent, on a $X_2$ comme solution. Puisque $X=x^2$ , alors, $x^2=676$ . Soit : $x=26$ car $x$ est positif.

Donc, pour que la condition soit respectée, $n=26$ .

Corrigé exercice 2 :

Question supplémentaire : il est clair que oui, la suite converge puisqu'on a : $-1< a< 1$ .

Corrigé exercice 3 :

Corrigé exercice 4 :

Corrigé exercice 5 :