Une suite est convergente lorsqu'elle admet une limite finie.
Une suite est divergente lorsqu'elle admet une limite infinie ou lorsqu'elle n'a pas de limite.
Exemple : la suite : n'admet pas de limite finie, elle
diverge.
La suite converge vers un réel , si tout intervalle ouvert comportant contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. En d'autres termes : .
En somme, on trouvera tous les termes de la suite, à partir d'un certain rang, dans un intervalle , étant un réel. Voir image ci-dessous :
La suite tend vers , si tout intervalle de la forme , étant un réel, contient toutes les valeurs à partir d'un certain rang. Entre d'autres termes : .
Exemple : la suite : .
La suite tend vers , si tout intervalle de la forme , étant un réel, contient toutes les valeurs à partir d'un certain rang. Entre d'autres termes : .
Exemple : la suite .
À partir d'un certain rang, si une suite converge vers un réel non nul, alors elle est du signe de . La démonstration réside sur la définition en elle-même. On sait que, d'après la définition : .
Si on pose :
Si est négatif, alors :
Donc : .
Si est positif, alors :
Donc : .
(Admis) Si la limite existe, alors elle est unique. La démonstration se fait également avec la définition de la limite.