Le conjugué et le module - Les Maths en Terminale S !

Les maths en Terminale S

Le conjugué et le module

Soit $z$ un nombre complexe de forme algébrique $x+iy$ . On appelle conjugué de $z$ , que l'on note $\overline{z}$ , est le nombre complexe $x-iy$ . Ainsi :

${R}e(z)=Re(\overline{z})$ et $Im(z)=-Im(\overline{z})$

Le module de $z$ , noté $|z|$ , est le nombre positif suivant : $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ .

Si $z$ est un réel, alors on a : $|z|=\sqrt{x^2}=|x|$ . C'est pourquoi la notation du module est la même que la notation de la valeur absolue.

De plus, on peut remarquer que :

$\frac{1}{z}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$

Ce qui peut se noter aussi : $\overline{z}z=|z|^2$ .

Propriétés :

$|-z|=|z|$
$|\overline{z}|=|z|$
$\overline{\overline{z}}=z$
$z\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \overline{z}=z$
$z\in i\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \overline{z}=-z$
$\overline{z'+z}=\overline{z'}+\overline{z}$
$\overline{z'z}=\overline{z'}\overline{z}$

$\overline{\left\( \frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}}$

$\overline{\left\( \frac{z'}{z}\right)}=\frac{\overline{z'}}{\overline{z}}$

$\overline{z^n}=\overline{z}^n$
$|z|=0$

Formules d'Euler :

$\\ z+\overline{z}=2\mathfrak{R}e(z)\\ z-\overline{z}=2\mathrm i\mathfrak{I}m(z)$