L'ensemble des nombres complexes

Il existe un ensemble de nombres, noté $\mathbb{C}$ , et appelé ensemble des nombres complexes(tous les ensembles sont détaillés ici), possédant les propriétés suivantes :

$\mathbb{C}$ contient $\mathbb{R}$
On définit dans $\mathbb{C}$ une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que l'addition et la multiplication des réels.
Il existe dans $\mathbb{C}$ un nombre $i$ tel que : $i^2=-1$
Tout élément $z$ de $\mathbb{C}$ s'écrit de manière unique $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ des réels.

Vocabulaire :

Si un nombre complexe s'écrit $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ des réels alors :

$x+iy$ s'appelle la forme algébrique de $z$ .
$x$ est la partie réelle de $z$ , on note $x=\mathfrac{R}e(x)$ .
$y$ est la partie imaginaire de $z$ , on note $y=\mathfrac{I}m(z)$ .
Si $y=0$ , alors : $z=x\Leftrightarrow z\in \mathbb{R}$ , ce qui signifie bien que : $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$ .
Si $x=0$ , alors : $z=iy$ est dit imaginaire pur, on note $i\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres imaginaire purs.

Soient $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$ deux nombres complexes. Deux nombres complexes sont égaux, si et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire, soit :

$z=z'\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=x'\\ y=y'\end{array}\right.$

Remarque : si $z=0$ , alors : $x=0$ et $y=0$ .