Théorème du point fixe

Si la suite $(u_n)$ converge vers $l$ et si la fonction $f$ est continue en $l$ , alors :

$\lim_{n\to +\infty}f(u_n)=f(l)$

Soit $(u_n)$ une suite définie par la relation de récurrence : $u_{n+1}=f(u_n)$ . Si on montre que $(u_n)$ converge (soit parce qu'elle est décroissante et minorée ou croissante et majorée) et si $f$ est continue, alors la limite $l$ vérifie la relation suivante :

$l=f(l)$

En pratique, on cherche à résoudre l'équation $x=f(x)$ (autrement dit, l'intersection entre la courbe représentative de la fonction avec la droite d'équation $y=x$ ) pour trouver les éventuelles limites. Si deux limites existent, un raisonnement simple permet d'en éliminer une.

Démonstration.

On sait que :

$\lim_{n\to +\infty}u_n=l$

De plus, on sait que $f$ est continue, donc, d'après la relation vue en haut :

$\lim_{n\to +\infty}f(u_n)=f(l)$

Soit :

$\lim_{n\to +\infty}u_{n+1}=f(l)$ .

Il est clair que (même suite, excepté pour le premier terme) :

$\lim_{n\to +\infty}u_{n+1}=\lim_{n\to+\infty}u_n=l$

On a donc :

$l=f(l)$ .