Opérations sur les limites

Considérons les tableaux suivants (source : wikiversity) :

Ici, $a$ peut désigner un réel ou $\pm \infty$ .

Les cas en bleu dépendent du signe. Ici, on peut s’intéresser au signe de $l$ et de 0.

Remarque : ce qui est intéressant ici, c'est de faire attention au signe du 0. Par exemple, dans le cas de la limite :

$``\frac{l}{0}"$

Il est utile se savoir le signe du 0 afin d'en déduire si cela tend vers $\pm \infty$ .

Il faut différencier les limites à gauche et à droite. Pour cela, on utilise le symbole + qui signifie $x>a$ et le symbole - qui signifie $x<a$ . C'est grâce à ce principe que l'on détermine le signe d'une limite.

Exemple : quel est limite de $\frac{1}{x^2}$ quand $x$ tend vers 0 ?

Il y a deux limites à voir, celle de gauche et celle de droite... Ainsi :

$\lim_{x\to 0^{+}}(\frac{1}{x^2})=+\infty\ et\ \lim_{x\to 0^{-}}(\frac{1}{x^2})=+\infty$

Ainsi, la droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à la courbe de la fonction.

Limites et comparaisons (analogues pour les suites) :

$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ et si $\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=l$ , alors : $\lim_{x\to a}f(x)=l$ (théorème des gendarmes).

$g(x)\leq f(x)$ et si $\lim_{x\to a}g(x)=+\infty$ , alors : $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ .

$f(x)\leq g(x)$ et si $\lim_{x\to a}g(x)=-\infty$ , alors : $\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$ .

La limite d'un polynôme est la limite du terme du plus haut degré. Soit $p(x)$ un polynôme :

$\lim_{x\to \infty}p(x)=\lim_{x\to \infty}terme\ du\ plus\ haut\ degr\'e$

La limite d'une fonction rationnelle est la limite du rapport entre ses termes du plus haut degré. (Analogue aux suites). Soit $p(x)$ une fonction rationnelle :

$\lim_{x\to \infty}p(x)=\lim_{x \to \infty}\frac{terme\ du\ plus\ haut\ degr\'e}{terme\ du\ plus\ haut\ degr\'e}$