Correction

Exercice 1 :

 

 1. Soit .

a. Il est évident que : et . Par addition :

 

 

b.

 

c. Il est évident que sur , donc la fonction est strictement croissante sur

Tableau de variations
Tableau de variations

2. Soit la fonction définie sur :

a. Il est évident que : et , indépendant de la valeur de . On a donc :

 

b. Étudions le signe de la dérivée. On a :

Il est évident que et , donc, il en résulte : (addition de termes positifs) sur . La fonction est strictement croissante sur .

 

c. On sait que la fonction est strictement croissante sur . De plus, la fonction est continue (ajout de fonctions continues et la fonction est dérivable, donc continue). Enfin, puisqu'elle est strictement croissante, on a : . La valeur de est indépendant de . Il est donc évident que : . Le théorème de la bijection dit alors qu'il existe une unique solution telle que . On a, ainsi : , l'unique solution.

 

d. On a montré que : . On a bien : (puisque ). On a également :

Or, on sait : (entier naturel non nul). Par passage à l'inverse : . Il est évident que : , donc, il existe une unique valeur , tel que . Ainsi, on a bien : .

3. On sait que  vérifie l'équation :

(équation )

Et on sait que :

En soustrayant membre à membre :

Soit, en mettant sur le même dénominateur :

Donc :



Ainsi, on a bien : .

 

4.

a. On a montré que : . Or, on sait que : , donc : . Puisque la fonction est croissante, on a : . La suite est bien croissante.


b. On sait que la suite est bornée (cf. 2.d), donc majorée (ici, par 1) et elle est croissante, la suite converge. On a donc :


c. On a :


d. On en déduit :


Exercice 2 :

Il advient que l'équation de la tangente s'écrit :

 

Soit, en développant :

Cette tangente coupe l'axe des abscisses, il est évident que : .

Ainsi :

Ce qu'il fallait montrer.


Exercice 3 :


Soit le polynôme . Le polynôme est une somme de fonctions continues, donc la fonction est continue. Il est évident que la fonction est définie sur , donc on a : .


On sait que :

Supposons que et le polynôme de degré impair :

Ici, il est évident que , donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une solution telle que . Le polynôme de degré impair admet bien au moins une racine et ce, quelque soit soit impair.


Supposons que et le polynôme de degré impair :

Là aussi, il est évident que , donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une solution telle que . Le polynôme de degré impair admet bien au moins une racine et ce, quelque soit soit impair.


Dans tous les cas, un  polynôme de degré impair admet au moins une racine quelque soit impair.


Exercice 4 :


Il suffit de trouver un contre-exemple. Par exemple, n'admet pas de racine.


Exercice 5 :

 

On sait que converge, donc :

De plus, on a la relation de récurrence suivante :

Posons : . Il est évident que la fonction est continue (polynôme donc continue, plus soustraction de fonctions continues ). Ainsi, on a :

 

Ainsi, d'après le théorème du point fixe, on a l'équation suivante :

Ainsi :

(Règle de l'équation produit nul). On serait tenté de diviser par , mais est-il non nul ?

Ainsi : (puisque la suite est croissante et le premier terme est positif). Donc :

 

Remarque : une étude approfondie de la suite aurait permis de montrer qu'elle est croissante et majorée, donc qu'elle converge.


Exercice 6 :


Voyons si l'accroissement admet une limite quand tend vers 0.

On a :


Ainsi, on obtient :

On peut distinguer les cas quand est positif ou négatif mais le résultat est le même.

Donc, la fonction est dérivable en 0, et on a : .



Exercice 7 :


Il faut raisonner par disjonction de cas pour positif et négatif. On pourra aboutir à une contradiction.


Exercice 8 :

 

Vrai, la fonction cube est impaire. On a :

.


Faux, on a :


Exercice 9 :

 

1.

a. (Rédaction sommaire, juste pour les idées) On étudie le signe de la dérivée. On a :

On remarque que est du signe de . On a : pour tout : . Ainsi, on a :

pour tout . Donc est croissante sur .

pour tout . Donc est décroissante sur .

On a donc le tableau de variation suivant :

b. Trivial.

2.

a. On note la proposition pour tout . On a : .

Initialisation: montrons que est vraie.

 

Le proposition est vraie au rang 1.

 

Hérédité : supposons qu'il existe un entier tel que soit vraie. Démontrons que est vraie; c'est-à-dire : .

On a montré que sur la fonction est croissante, on a donc :

.
Or :

On a donc : http://latex.codecogs.com/gif.latex?u_%7Bn+1%7D%5Cgeq%20%5Csqrt%7B2%7D.

La proposition est vraie au rang .

 

Conclusion : la proposition est vraie au rang 1 et est héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel non nul.

 

b. Étudions le signe de . On a :

Or on a vu que pour tout http://latex.codecogs.com/gif.latex?x%5Cgeq%20%5Csqrt%7B2%7D : . Puisque pour tout . Ainsi, on a :

.

Soit :

pour tout .

 

c. Puisque , d'après la question précédente, on a : . Ainsi : . La suite est décroissante à partir du rang 1 pour tout entier naturel non nul.

 

d. La suite est décroissante et est minorée par , donc, d'après le théorème, la suite converge vers un réel .

3. On sait que est continue (somme de fonctions continues) sur , donc est continue en . De plus, la suite converge, on a donc :

.

De plus, on a :

D'après le théorème du point fixe, on a : . Ainsi, cela revient à résoudre l'équation :

Après mise en équation et résolution (triviale), on obtient : ou . Puisque la suite est strictement positive (cf. 2.a), la seule limite possible est :

.