Dérivabilité

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$ . On dit que $f$ est dérivable en $a$ lorsque le taux d'accroissement de $f$ en $a$ admet une limite finie $l$ en $a$ , c'est-à-dire lorsque :

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=l$

ou :

$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(h)}{h}=l$

Dans ce cas, $l$ est appelé nombre dérivé de la fonction en $a$ , soit $f'(a)$ .

La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.

Soit : $f(x)=\sqrt{x}$ , définie sur $\mathbb{R}_{+}$ . On peut écrire, si $a$ tend vers 0 :

$\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}=\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}$

Or :

$\lim_{h\to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{h}}=+\infty$

Donc $\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}$ n'admet pas de limite finie en 0, quand $h$ tend vers 0, ce qui montre que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.

Si $f$ est dérivable en $a$ , alors $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A(a;f'(a))$ . Une équation de la tangente est :

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$

On dit que l'équation de la tangente est une approximation affine de $f$ en $a$ .

Formules :

$(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$

$\left( \frac{1}{u} \right)'=-\frac{u'}{u^2}$

$(u^n)'=nu'u^{n-1}$

$\left( \frac{1}{u^n} \right )'=-n\frac{u'}{u^{n+1}}=-nu'u^{-n-1}$

$(f(ax+b)')=af'(ax+b)$

$(uv)'=u'v+v'u$

$(u+v)'=u'+v'$

$k'=0$ (une constante)

$(ax)'=a$

$(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0)'=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots+a_1$

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $J$ avec $u(I)\subset J$ , alors la fonction $g=f\circ u =f(u(x))$ est dérivable sur $I$ et pour tout réel $x\in I$ , $g'(x)=u'(x)\times f'(u(x))$ .