Produit scalaire

Toutes les règles pour le produit scalaire dans la géométrie plan restent les mêmes dans l'espace.

Le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , peut se calculer de trois façons :

$\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}[||\vec{u}+\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2]$ .
si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont pour coordonnées respectives $(x;y;z)$ et $(x';y';z')$ , alors : $\vec{u}\cdot \vec{v}=xx'+yy'+zz'$ .
si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non nuls, alors : $\vec{u}\cdot \vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\cos(\vec{u};\vec{v})$ .

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non nuls, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ .

$\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont 3 vecteurs de l'espace :

$\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$
$\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot \vec{w}$
Si $a$ et $b$ sont deux réels, alors : $(a\vec{u})\cdot (b\vec{v})=ab\vec{u}\cdot \vec{v}$
$\vec{u}\cdot \vec{u}=||\vec{u}||\times||\vec{u}||=||\vec{u}||^2$
$||\vec{u}\pm\vec{v}||^2=||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2\pm 2\vec{u}\cdot \vec{v}$
$(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2$

ROC : dans l'espace, si une droite $d$ est orthogonale à deux droites sécantes d'un plan $P$ , alors la droite est orthogonale à $P$ .

Démonstration. Soient $D$ une droite de $P$ et $\vec{U}$ un vecteur directeur de cette droite. Soit $\vec{u}$ un vecteur directeur de $d$ . Soient, de plus, $\vec{u}_1$ et $\vec{u}_2$ les vecteurs directeurs des deux droites sécantes de ce plan.

Comme $D_1$ et $D_2$ sont sécantes, $(A;\vec{u}_1;\vec{u}_2)$ forme un repère du plan $P$ . Comme $D\subset P$ , on peut écrire $\vec{U}=\alpha \vec{u}_1+\beta\vec{u}_2$ .

On a alors : $\vec{u}\cdot\vec{U}=\alpha \vec{u}\cdot\vec{u}_1+\beta\vec{u}\cdot\vec{u}_2=0$ , donc $d\bot P$ .

$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont deux vecteurs non nuls de l'espace.

Soit $P$ un plan contenant $(AB)$ . Si $C_1$ et $D_1$ sont les projetés orthogonaux de $C$ et $D$ sur $P$ , alors : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{C_1D_1}$ .
Si $C_2$ et $D_2$ sont les projetés de $C$ et $D$ sur la droite $(AB)$ , alors on obtient : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{C_2D_2}$ .