Correction
Exercice 1 :
On a :
En divisant par , pour tout
:
D'après le théorème des gendarmes, on a :
Exercice 2 :
1) On a :
2) Un raisonnement par récurrence est nécessaire. On pose la propriété :
Initialisation : montrons que la proposition est vraie au rang 1.
et
.
Donc la proposition est vraie au rang 1.
Hérédité : supposons qu'il existe un entier tel que
soit vraie. Démontrons que
est vraie.
On a, par hypothèse de récurrence :
.
En dérivant :
. En posant :
, on a :
La proposition est au rang .
Conclusion : la proposition est vérifiée au rang 1 et est héréditaire à partir de 1. Donc la proposition est vraie pour tout entier naturel .
Exercice 3 :
