Exercice 1 :

Étudions le signe de sa dérivée.

On a :

avec

Soit :

Résolvons :  . On a :

D'où (utilisation de la règle équation produit nul) :

ou (car ).
Ainsi :

Sur , on en déduit le tableau de variations suivant :

Explications :

• voir image du bas pour le signe de .

• on ne garde que les tels que soit dans l'intervalle défini.

• enfin, on calcule .

La fonction est -périodique. En effet :

La fonction est paire. En effet :

car .

Ainsi on peut en déduire le tableau de variations sur .

Exercice 2 :

Étudions le signe de la dérivée.

On a : avec et .

Soit :

Puisque pour tout réel , est du signe de . On a :

car . D'où : . On a le tableau suivant :

1. Limite en . D'après le cours :

D'où, par addition :

2. Limite en . En écrivant :

Sachant que :

On a, par multiplication :

La fonction est strictement croissante sur , elle est continue car elle est dérivable sur . On sait que : . D'après le théorème de la bijection, il existe un unique réel tel que : . On a donc le signe de :

Exercice 3 :

Partie A :

1. En montrant que l'expression est une fonction rationnelle, on montre trivialement que les limites en et sont égales à 1. La droite est bien asymptote à la courbe représentative de la fonction.

2. On obtient :

Soit :

On pose :

Lorsque tend vers plus , tend vers 0. On a alors :

D'après l'aide, on a, par addition :

Soit :

La fonction est dérivable en 0 et la courbe représentative admet une tangente horizontale en 0.

3. On a ;

avec :

D'où :

4. Il est évident que : . Ainsi : est du signe de . Ainsi :

La fonction admet donc un maximum en . On a :

. On en déduit le tableau de variations :

Partie B :

1. Déterminons .

Soit :

Ainsi : . Les deux équations sont bien équivalentes.

2. Correction partielle, juste les idées. On étudie la fonction, c'est-à-dire, le signe de la dérivée, ses variations et on dresse le tableau de variations. La fonction est continue car dérivable, et strictement croissante sur in intervalle précis. On remarquera donc qu'il existe une unique racine d'après le théorème de la bijection.

On trouve : .

3. On a : car la fonction est strictement croissante. On en déduit :

. Soit :

ou :

On a :

4. On a, au point d'abscisse , l'équation de la tangente :

5. On a : . La tangente passe par l'origine du repère au point O, si et seulement si : .
Soit :

car la fonction ne s'annule lors que pour . Ainsi, seule la tangente passe par l'origine du repère.

Exercice 4 :

1. En copiant le même principe que l'exercice précédent, on a le tableau de variations suivants (il faut calculer la dérivée, étudier son signe, en déduire les variations, calculer les limites..). On trouve :

La courbe représentative admet une asymptote horizontale en , d'équation :

2. On a, au point M :

3. D'après la question, il faut donc résoudre :

D'où :

En calculant le discriminant, on a les solutions suivantes :

et

Il y a donc bien deux valeurs de .

Oh oh, on dirait qu'un petit nombre d'or se cache...

Exercice 5 :

Correction partielle, je mets uniquement les idées.

PARTIE 1 :

1. Trivial, à la fin, si vous ne comprenez pas, dites le moi en commentaire. On trouve ainsi : . est du signe de , elle s'annule en . La croissante sur puis décroissante.

2. On a :

et

3. Une équation de la tangente s'écrit :

avec . Ici :

. En prenant : (point d'abscisse 0), on a :

4. On étudie : et sauf erreur de ma part, la droite d'équation est toujours au dessus.

PARTIE 2 :

1. Trivial.

2.

3. La suite semble décroissante.

4. La fonction est strictement croissante sur l'intervalle proposé. De plus, et . Du fait qu'elle est soit croissante, on a :

5. La question 4 va nous permettre d'utiliser la récurrence (comme en début d'année la fonction croissante, on s'en souvient ?) afin de démontrer la proposition 2.

6. On étudie le signe de . On a :

. Or : d'après la question précédente. Donc est du signe de . Par encadrement, on aboutit à :

Donc la suite est décroissante.

6. La suite est décroissante et minorée, donc elle converge.