NB : les étoiles constituent le niveau de difficulté.

est un exercice facile.

est un exercice moyen.

est un exercice difficile (généralement appelé "problème ouvert")

Exercice 1 :

Soit la fonction définie sur par :

.

Étudier-la convenablement.

Exercice 2 :

Soit la fonction définie sur par :

Étudiez convenablement la fonction : limites, variations, le nombre de racines, le signe.

Exercice 3 (problème bac) :

Soit la fonction définie sur par :

et .

Partie A :

1. Démontrer que la droite d'équation est asymptote à la courbe représentative de la fonction.

2. Pour , calculer :

Étudier la limite de cette expression quand tend vers 0. Aide : on pourra utiliser, pour un entier naturel non nul : 

Que peut-on en déduire ?

 3. Démontrer que pour tout , on a :

 4. Étudier les variations de la fonction et dresser son tableau de variations.

Partie B :

On note la fonction définie sur par :

1. Montrer que dans , les équations et sont équivalentes.

2. Démontrer que admet une seule racine réelle dont on donnera un encadrement à près.

3. On pose :

Encadrer (en justifiant). Montrer que : .

4. Pour tout , on note la tangente à la courbe représentative de la fonction au point d'abscisse . Montrer que a pour équation .

5. Déduire des questions précédentes que de toutes les tangentes à la courbe représentative de la fonction, seule passe par l'origine O.

Exercice 4 (extrait d'un problème bac)  :

Soit la fonction définie sur par : 

1. Étudier les variations de et déterminer ses limites aux bornes de . Existe-t-il une droite asymptote ? Si oui, donner ses caractéristiques.

2. Écrire l'équation de la tangente en un point d'abscisse .

3. Montrer qu'il existe exactement deux tangentes, soit deux valeurs de , telles que ces dernières passent par l'origine O.

Exercice 5 :

Pour des éléments de correction, cliquez ici