S'il existe une fonction définie et dérivable sur telle que et , alors elle ne s'annule jamais sur .

ROC : montrons que cette fonction ne s'annule jamais sur . On admet qu'il existe ce type de fonction définie plus haut.

Démonstration.Posons : . La fonction est du type . On a :

Or : . Ainsi : . La fonction est donc constante pour tout réel . Or : . Ainsi : . Soit : . Or s'il existe un réel telle que la fonction s'annule, on aurait :

Absurde. Donc la fonction ne s'annule jamais sur .

Il existe une unique fonction définie et dérivable sur telle que et .

ROC : soient deux fonctions et telles que : , et , . On admet l'existence (difficile à démontrer au niveau de Terminale).

Démonstration.Posons, pour tout réel : . La fonction est du type . On a :

Or : et . Donc : . La fonction est donc constante pour tout réel . Or : . Ainsi : .

On a donc :  . En multipliant par : . Or d'après le ROC précédent, on a : . En conclusion : . Il existe une unique fonction vérifiant les caractéristiques énoncées.

Remarque : on aurait pu raisonner par l'absurde, en supposant qu'il existe deux fonctions différentes vérifiant les conditions demandées et aboutir à une contradiction.