Corrigé

Les maths en Terminale S

Exercice 1 :

Exercice 2 :

Exercice 3 :

Exercice 4 :

On a, pour tout réel $x$ :

$\cos^3+\sin^3x &=1 \Leftrightarrow \cos^3+\sin^3x &=\cos^2x+\sin ^2x \\$

Ainsi : $\cos^3+\sin^3x &=\cos^2x+\sin ^2x \Leftrightarrow \cos^2(\cos x-1)+\sin^2x(\sin x-1)=0$

Maintenant, l'addition de deux termes est nulle si et seulement tous les termes sont nuls donc (par la règle de l'équation produit nulle) les solutions sont :

$\left\{\begin{matrix} \cos^2x =0 \\ \cos x-1 =0 \\ \sin^2x=0 \\ \sin x-1=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =\pi/2+2k\pi \\ x =0+2k\pi \\ x=0+2k\pi\\ x=\pi/2+2k\pi \end{matrix}\right.$

Ici, ne sont gardées que les solutions qui donnent un cosinus positif ou sinus positif (car si $x=\pi$ , on a $\cos(\pi)^3+\sin(\pi)^3=(-1)^3+0^3=-1\neq 1$ et de même on obtient, si $x=-\pi/2$ : $\cos(-\pi/2)^3+\sin(-\pi/2)^3=(0)^3+(-1)^3=-1\neq 1$ )