Corrigé

Exercice 1 :

Exercice 2 :

Exercice 3 :

Par une étude de la fonction, on montre qu'il existe un maximum en $x=4\sqrt{2}$ , on a alors : $P(4\sqrt{2})=8(\sqrt{2}+1)$ cm. Il existe donc bien ce fameux triangle dont le périmètre est le plus grand.

Pour la deuxième question, il faut juste remplacer 64 par $b$ ( $b$ est évidemment strictement positif...). On a donc, un maximum pour une fonction $P$ en (car la fonction dérivée s'annule en :) :

$b^2-2x^2=0\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{b^2}{2}}$ et on a :

$\\ P\left(\frac{b}{\sqrt{2}} \right )=\frac{b}{\sqrt{2}}+\sqrt{b-\frac{b^2}{2}}+b\\ P\left(\frac{b}{\sqrt{2}} \right )=\frac{\sqrt{2}b+b}{\sqrt{2}}+\frac{b}{\sqrt{2}}\\ P\left(\frac{b}{\sqrt{2}} \right )=\frac{\sqrt{2}b+2b}{\sqrt{2}}\\ P\left(\frac{b}{\sqrt{2}} \right )=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}b+2b)}{2}\\ P\left(\frac{b}{\sqrt{2}} \right )=b+\sqrt{2}b$

Donc le périmètre maximal est $b+\sqrt{2}b$ cm.

Sur Géogébra, on a les configurations suivantes (ici $b$ est un entier compris entre 0 et 10 pour plus de lisibilité sur la photo ci-jointe) :

Exercice 4 :

Exercice 5 :

Posons : $g(x)=f(x)-x$ .

La fonction $g$ est continue car c'est une somme de fonctions continues.

Il est évident que :

$0\leq g(0)\leq 1$

Puisque $http://latex.codecogs.com/gif.latex?f$ prend ses valeurs dans $[0;1]$ .

On a aussi :

$0\leq f(1)\leq 1 \Leftrightarrow 0-1\leq f(1)-1\leq 0 \Leftrightarrow -1\leq g(1)\leq 0$

Ainsi, en récapitulant : $http://latex.codecogs.com/gif.latex?g%280%29%5Cgeq%200$ et $g(1)\leq 0$ . Puisque la fonction $g$ est continue et prend ses valeurs dans l'intervalle $[0;1]$ pour tout $x\in [0;1]$ , d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une solution telle que :

$g(x)=0$

En particulier :

$f(x)=x$

Ce qu'il fallait montrer.

On peut même généraliser ce principe avec $http://latex.codecogs.com/gif.latex?a$ et $b$ tels que : $0<a<b<1$ .

Exercice 6 :

On peut écrire :

$\\ f(x)=(f(x))^2 \\ (f(x))^2-f(x)=0\\ f(x)(f(x)-1)=0\\ f(x)=0\ ou\ f(x)=1$

(règle de l'équation produit nul)

En somme, les fonctions constantes $f(x)=0$ et $f(x)=1$ vérifient les conditions demandées.

PS : on serait tenté de diviser par $f(x)$ mais $f(x)$ est-il non-nul ?

Exercice 7 :

a) Soient $f$ une telle fonction et $x$ et $y$ des réels.

Prenons $x=y=0$ et on a directement : $f(0)=0$ .

Prenons $x=y=1$ et on a : $f(1)=2f(1)\Leftrightarrow f(1)=0$ .

Prenons $x=y=-1$ et on a : $f(1)=-2f(-1)$ . Comme $f(1)=0$ , on en déduit que $f(-1)=0$ .

b) Soit $f$ une telle fonction et étudions-la par rapport à $x$ . Prenons $y=-1$ et on a :

$f(-x)=-f(x)+xf(-1)$

Comme $f(-1)=0$ , on a donc : $f(-x)=-f(x)$ . La fonction $f$ , si elle existe, est donc impaire.

a) Soit $f$ une telle fonction et étudions-la par rapport à $x$ . Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=f\circ \exp x = f(\mathrm e^x)$ (ici $y=1$ ).

Dans ce genre de question, il est bon de tester pour quelques valeurs de $n$ pertinentes. Essayons avec $n=2$ et $n=3$ .

$h(2x)=f(\mathrm e^{2x})\Leftrightarrow h(2x)=f(\mathrm e^x\times \mathrm e^x)\Leftrightarrow h(2x)=2\mathrm e^xh(x)$
$h(3x)=f(\mathrm e^{3x})\Leftrightarrow h(3x)=f(\mathrm e^{2x}\times \mathrm e^x)\Leftrightarrow h(3x)=3\mathrm e^{2x}h(x)$

Il semblerait donc que pour tout entier $n$ : $h(nx)=n\mathrm e^{(n-1)x}h(x)$ . Démontrons cela par récurrence.

Posons pour tout entier naturel $n$ : $\mathcal{P}_n : ``h(nx)=n\mathrm e^{(n-1)x}h(x)"$

Initialisation : montrons que la proposition est vraie au rang 0.

$h(0)=f(\mathrm e^0)=f(1)=0$ et $0\times \mathrm e^{-1x}h(0)=0$

la proposition est vraie au rang 0.

Hérédité : supposons qu'il existe un entier $n$ supérieur ou égal à 0 tel que $\mathcal{P}_n$ soit vraie. Démontrons que $\mathcal{P}_{n+1}$ est vraie.

$\\ h((n+1)x)=f(\mathrm e^{nx}\times \mathrm e^x)\\ h((n+1)x)= \mathrm e^xf(\mathrm e^{nx})+e^{nx}f(\mathrm e^x)\\ h((n+1)x)= \mathrm e^x\times n \times \mathrm e^{nx-x}f(\mathrm e^x)+e^{nx}f(\mathrm e^x) \\ h((n+1)x)=n\times \mathrm e^{nx}h(x)+\mathrm e^{nx}h(x)\\ h((n+1)x)=(n+1)\mathrm e^{nx}h(x)$

Sous l'hypothèse de récurrence, la proposition est vérifiée au rang $n+1$ .

Conclusion : la proposition est vraie au rang 0 et est héréditaire à partir de 0, elle est donc vraie pour tout entier naturel.

b) Avec le conseil et la question précédente, on a :

$h(q \times p/q)=q\times \mathrm e^{(q-1)p/q}h(p/q)$ et $h(p)=p\mathrm e^{p-1}h(1)$ .
Donc : $p\times \mathrm e^{p-1}h(1)=q\times \mathrm e^{(q-1)p/q}h(p/q)$ . Soit après simplification :

$h(p/q)=\frac{p}{q}\mathrm e^{p/q-1}h(1)$

c) La fonction $h$ est composée de fonctions continues sur $\mathbb{R}$ (par définition de $f$ et de $\exp$ ), elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ .

d) Comme la fonction $h$ est continue, on peut donc en déduire que (car tout réel est limite d'une suite de rationnels) :

$h(x)=x\mathrm e^{x-1}h(1)$

3. Comme le fonction $f$ est impaire, on peut donc se réduire l'ensemble de solutions sur $\mathbb{R}^+$ : en effet, si $x>0$ , alors $f(-x)=-f(x)$ , on peut donc déduire les solutions sur $\mathbb{R}^-$ uniquement grâce à l'étude sur $\mathbb{R}^+$ .

De plus, $f(0)=0$ , on peut donc étudier l'ensemble de solutions sur $\mathbb{R}^{+*}$ (voici la condition nécessaire).+

Pour tout $x\in\mathbb{R}^{+*}$ , on a :

$f(\mathrm e^{\ln x})=C\ln x\times e^{\ln x} \Leftrightarrow f(x)=C\times x\ln x$

Ici, $C$ est une constante réelle.

Finalement, l'ensemble de solutions sur $\mathbb{R}$ est :

$\left\{\begin{matrix} f(x)=0 \ \mbox{si}\ x= 0 \\ f(x)=Cx\ln|x| \ \mbox{si}\ x\neq 0 \end{matrix}\right.$

4. Pour tous réels $x$ et $y$ (différents de 0), on a :

$f(xy)=Cxy\ln(|xy|)$
$xf(y)=Cxy\ln |y|$ et $yf(x)=Cxy\ln |x|$

Et on a :

$xf(y)+yf(x)=Cxy(\ln|y|+\ln|x|)=Cxy(\ln |xy|)=f(xy)$

Pour être pointilleux, il faudrait vérifier convenablement la limite en 0 pour voir si cette fonction est bien continue en 0 : c'est une limite de cours.