Exercice 1 :
Soit la fonction définie sur
par :
On note la courbe représentative de
,
la tangente à
en
et
la droite d'équation
. Pour quelle(s) valeur(s) de
la droite
est-elle parallèle à
?
Exercice 2 :
La courbe représente dans un repère orthonormé
d'origine O la fonction
définie sur
par :
Soit un réel de
,
le pont de
d'abscisse
et
la tangente à la courbe
au point
.
Que dire de et de
?
Exercice 3 :
Parmi tous les triangles rectangles en
tels que
cm. Existe-il une triangle qui a un périmètre plus grand
que les autres ?
Généralisation : et pour un triangle d’hypoténuse cm ?
Exercice 4 :
Combien les courbes d'équations suivantes ont-elles de points communs ?
Exercice 5 :
Soit une fonction définie et
continue sur l'intervalle
qui prend ses valeurs dans l'intervalle
.
Démontrer que l'équation admet au moins une solution.
Exercice 6 :
Déterminer toutes les fonctions continues sur telles que pour tout réel
:
Exercice 7 : (Pour aller plus loin)
On se propose d'étudier et de trouver toutes les fonctions , à valeurs réelles, définies et continues sur
, vérifiant pour tous réels
et
:
1. Soit une telle fonction.
a) Calculer ,
et
.
b) Déterminer la parité de .
2. Posons la fonction définie par :
.
a) Soit et un réel
. Déterminer alors
.
b) Soit , un rationnel (on dit que
). Déterminer
. On pourra éventuellement remarquer que
.
c) Justifier rigoureusement que est continue sur
.
d) Sachant que tous réels sont limites d'une suite de rationnels, déterminer
pour tous réels
.
3. En utilisant les questions 1.a) et 1.b), déterminer une condition nécessaire sur et en déduire toutes les solutions du problème.
4. Synthèse : vérifier que les solutions trouvées précédemment vérifient la condition initiale.
Le corrigé est disponible ici.